ANEXĂ nr. 0/2014

ANEXE din 29 august 2014 la Ordinul ministrului educației naționale nr. 4.431/2014 privind organizarea și desfășurarea evaluării naționale pentru absolvenții clasei a VIII-a în anul școlar 2014-2015

Emitent MINISTERUL EDUCAȚIEI NAȚIONALE

Publicare Monitorul Oficial nr. 651 din 29 august 2014

Intrare în vigoare 4 septembrie 2014

Anexa nr. 1

CALENDARUL

examenului de bacalaureat național – 2015

Sesiunea iunie-iulie 2015

25 – 29 mai 2015

Înscrierea candidaților la prima sesiune de examen 29 mai 2015

Încheierea cursurilor pentru clasa a XII-a/a XIII-a

8 - 10 iunie 2015

Evaluarea competențelor lingvistice de comunicare orală în

limba română – proba A

10 - 12 iunie 2015

Evaluarea competențelor lingvistice de comunicare

orală în limba maternă – proba B

15 – 19 iunie 2015

Evaluarea competențelor digitale – proba D

22 - 26 iunie 2015

Evaluarea competențelor lingvistice într-o limbă de circulație

internațională – proba C

29 iunie 2015

Limba și literatura română – proba E)a) – probă scrisă

30 iunie 2015

Limba și literatura maternă – proba E)b) – probă scrisă 1 iulie 2015

Proba obligatorie a profilului – proba E)c) – probă scrisă

3 iulie 2015

Proba la alegere a profilului și specializării – proba E)d) – probă scrisă

6 iulie 2015

Afișarea rezultatelor (până la ora 12:00)

6 iulie 2015

Depunerea contestațiilor (orele 12:00 – 16:00)

7 - 9 iulie 2015

Rezolvarea contestațiilor

10 iulie 2015

Afișarea rezultatelor finale

Sesiunea august-septembrie 2015

13 – 17 iulie 2015

Înscrierea candidaților la a doua sesiune de examen

17-18 august 2015

Evaluarea competențelor lingvistice de comunicare orală în

limba română – proba A

17-18 august 2015

Evaluarea competențelor lingvistice de comunicare orală în

limba maternă – proba B

18 -19 august 2015

Evaluarea competențelor lingvistice într-o limbă de circulație

internațională – proba C

20 - 21 august 2015

Evaluarea competențelor digitale – proba D

24 august 2015

Limba și literatura română – proba E)a) – proba scrisă

25 august 2015

Limba și literatura maternă – proba E)b) – probă scrisă

26 august 2015

Proba obligatorie a profilului – proba E)c) – probă scrisă

28 august 2015

Proba la alegere a profilului și specializării – proba E)d) – probă scrisă

31 august 2015

Afișarea rezultatelor (până la ora 12:00) și depunerea

contestațiilor (orele 12:00 – 16:00)

1-2 septembrie 2015

Rezolvarea contestațiilor

3 septembrie 2015

Afișarea rezultatelor finale

Notă: La solicitarea comisiilor de bacalaureat județene/a municipiului București sau din proprie inițiativă, Comisia Națională de Bacalaureat poate aproba prelungirea perioadelor de susținere a probelor de evaluare a competențelor digitale sau lingvistice

Anexa nr. 2

CENTRUL NA'IONAL

DE EVALUARE 'I EXAMINARE

PROGRAMA DE EXAMEN

PENTRU DISCIPLINA LIMBA ȘI LITERATURA ITALIANĂ MATERNĂ

BACALAUREAT 2015

PROGRAMA PENTRU DISCIPLINA LIMBA ȘI LITERATURA ITALIANĂ MATERNĂ

I. STATUTUL DISCIPLINEI Limba și literatura italiană are, în cadrul examenului de Bacalaureat pentru elevii claselor a XII-a, statut de disciplină obligatorie pentru absolvenții claselor a XII-a cu predare în limba italiană maternă. Curriculumul de Limba și literatura italiană maternă destinat studierii acestei discipline de către elevii aparținând etniei italiene care învață în școli cu predare în limba română contribuie la formarea și dezvoltarea progresivă la elevi a competențelor esențiale ale comunicării orale și scrise, permite cunoașterea de către aceștia a limbii materne și a patrimoniului spiritual și cultural al etniei, oferind o punte spre interculturalitate, spre o bună cunoaștere reciprocă între populația majoritară și minoritățile naționale din spațiul geografic românesc. Examenul de Bacalaureat pentru clasa a XII-a la limba și literatura italiană maternă vizează evaluarea competențelor elevilor aparținând etniei italiene de receptare a mesajului scris, din texte literare și nonliterare, în scopuri diverse și de exprimare scrisă / de utilizare corectă și adecvată a limbii materne italiene în producerea de mesaje scrise, în diferite contexte de realizare, cu scopuri diverse. Deoarece competențele sunt diferite ca ansambluri de cunoștințe, deprinderi și atitudini formate în clasele a IX-a – a XII-a, subiectele pentru examenul de Bacalaureat vor evalua atât competențele specifice cât și conținuturile asociate acestora. Prin evaluarea națională la limba și literatura italiană maternă, în evaluarea unităților de conținut care privesc domeniul limba italiană maternă (Elementele de construcție a comunicării), se are în vedere viziunea comunicativ – pragmatică, abordarea funcțională și aplicativă a elementelor de construcție a comunicării, cu accent pe identificarea rolului acestora în construirea mesajelor și pe utilizarea lor corectă și adecvată în propria exprimare scrisă. Sarcinile de lucru vizează exerciții de tip analitic (de recunoaștere, de grupare, de motivare, de descriere, de diferențiere) și de tip sintetic (de modificare, de completare, de exemplificare, de construcție), de subliniere a valorilor stilistice și de evidențiere a aspectelor ortografice și de punctuație, în situațiile care impun o asemenea abordare. Structura testului pentru proba scrisă este formată din 3 subiecte, fiecare având 30 de puncte. Subiectele conțin itemi obiectivi, semiobiectivi și subiectivi care au ca material suport texte literare și nonliterare. În evaluarea unităților de conținut ale domeniului lectură, sarcinile de lucru implică cerințe, care privesc înțelegerea unui text dat, literar sau nonliterar (identificarea ideilor principale, a unor trăsături generale și particulare ale textului și exprimarea unui punct de vedere asupra acestora etc.), precum și redactarea de către elev a unor compuneri vizând scrierea despre un text literar sau nonliterar (rezumat, caracterizare de personaj, comentarea sumară a unor

secvențe, identificarea ideilor principale, exprimarea unui punct de vedere privind ideile sau structurarea textului etc.). De asemenea, sarcinile de lucru vor avea în vedere evaluarea competențelor de redactare a unor texte argumentative (exprimarea argumentată a unui punct de vedere privind textul studiat la prima vedere, motivarea apartenenței la un gen literar), reflexive și imaginative (compuneri care presupun exprimarea propriilor sentimente, evidențierea trăsăturilor unui obiect într-o descriere / într-un portret, scurte narațiuni, continuarea logică a unor dialoguri etc.).

II. COMPETENȚE GENERALE,

COMPETENȚE SPECIFICE ȘI CONȚINUTURI ASOCIATE Tabelul de mai jos cuprinde competențele generale care vizează receptarea și producerea mesajelor scrise din programa școlară pentru clasa a XII-a ( Receptarea mesajului scris, din texte literare și nonliterare, în scopuri diverse; Utilizarea corectă și adecvată a limbii italiene în producerea de mesaje scrise, în diferite contexte de realizare, cu scopuri diverse), detalierile lor în competențele specifice și conținuturile asociate, din programele școlare pentru clasele a IX-a – a XII-a.

1. Receptarea mesajului scris, din texte literare și nonliterare, în scopuri diverse Competențe specifice

Conținuturi asociate 1.1 dovedirea înțelegerii unui text literar sau nonliterar, pornind de la cerințe date 1.2 sesizarea corectitudinii și a valorii expresive a categoriilor - idei principale, idei secundare; ordinea logică și cronologică a ideilor/ a întâmplărilor dintr-un text; - moduri de expunere (narațiune, descriere, dialog, monolog); - subiectul operei literare; - procedee de expresivitate artistică în textele studiate (figuri de stil: personificarea, epitetul, comparația, repetiția, enumerația, antiteză, ingambament, metafora, aliterația); - sensul propriu și sensul figurat al unor cuvinte într-un context dat; - trăsăturile specifice genului epic și liric, în opere literare studiate sau în texte la prima vedere; - texte literare (aparținând diverselor genuri și specii studiate); texte nonliterare (texte publicitare, articolul de ziar/ de revistă, anunțul, știrea); - reperarea unor informații esențiale dintr-un text; - completarea unui text lacunar; - recunoașterea secvențelor narative și dialogate dintr-un text; - recunoașterea de cuvinte și expresii noi în text; - utilizarea unui lexic diversificat recurgând la categoriile semantice studiate.

Comunicarea scrisă Organizarea textului scris. Părțile componente ale unei compuneri: introducerea, cuprinsul, încheierea. Organizarea unui text propriu

morfosintactice, a mijloacelor de îmbogățire a vocabularului și a categoriilor semantice studiate, a ortografiei și punctuației (rezumat, caracterizare de personaj). Ortografia și punctuația. Scrierea corectă a cuvintelor. Consoanele duble, diftongii, triftongii, apostroful, trunchierea. Contexte de realizare:

a) Scrierea funcțională: scrisoarea, invitația. Analiza. Conspectul. Eseul structurat.

b) Scrierea imaginativă: compuneri libere după un plan dat. Eseul liber.

Scrierea despre textul literar sau nonliterar. Povestirea scrisă a unor fragmente din text. Comentarea unor secvențe. Semnificația titlului. Personajul literar. Fonetică și ortografie:

Aspecte fonetice specifice limbii italiene: eliziunea și apostroful, accentul cuvintelor. Lexic:

Mijloace de îmbogățire a lexicului: derivarea cu sufixe și prefixe; familii de cuvinte; expresii idiomatice; cuvinte compuse, arhaisme, neologisme; Sinonime, antonime, omonime, cuvinte polisemantice; Sensul denotativ și sensul conotativ al cuvintelor. Gramatică ■ Articolul: hotărât, nehotărât și partitiv; folosirea articolului cu numele proprii de persoane și geografice; ■ Substantivul: formarea femininului; formarea pluralului; substantive defective; substantive cu două forme de plural; substantive colective; substantive invariabile; substantive defective de singular / plural; substantive compuse; substantive derivate cu un sufix diminutival, peiorativ, etc; ■ Adjectivul: formarea femininului adjectivelor calificative; poziția adjectivului calificativ; adjectivul demonstrativ; adjectivul posesiv și omiterea articolului în cazul posesivelor care însoțesc substantive indicând înrudirea; adjectivul nehotărât; gradele de comparație - forme sintetice; ■ Numeralul: cardinal, ordinal (formarea); folosirea numeralului ordinal (exprimarea secolelor); distributiv; colectiv, multiplicativ; ■

Pronumele personal în acuzativ cu și fără prepoziție; pronumele in dativ cu și fără prepoziție; pronumele relativ; locul promumelor combinate cu în grupurile verbale, propoziția asertivă și imperativă; pronumele de politețe; pronumele demonstrativ; particulele pronominale ci, ne; pronumele posesiv; pronumele interogative; pronumele nehotărâte; ■ Verbul: indicativul prezent al verbelor regulate și neregulate; perfectul compus al verbelor regulate și neregulate; imperfectul verbelor regulate și neregulate; perfectul simplu al verbelor regulate și neregulate; viitorul simplu și viitorul anterior; condiționalul 1.3 identificarea valorilor etice și culturale într-un text, cu exprimarea impresiilor și preferințelor prezent și trecut; folosirea condiționalului; modul imperativul (tu, noi, voi); folosirea imperativului cu pronumele de politețe; conjunctivul prezent și trecut; conjunctivul imperfect și trapassato; concordanța timpurilor la modul indicativ; concordanța timpurilor la modul conjunctiv; fraza ipotetică; verbele frazeologice ( cominciare, iniziare, finire, smettere ); verbe tranzitive și intranzitive (alegerea auxiliarului); forma activă, pasivă și reflexivă; verbele modale ( dovere, potere, volere ); verbele impersonale; verbe defective; ■

Adverbul: formarea adverbelor din adjective cu sufixul ”–mente”; adverbele de loc și de timp; adverbe de îndoială; adverbe de mod; adverbe interogative; adverbe de evaluare; locuțiuni adverbiale; particulele adverbiale

ci, vi, ne; gradele adverbului; poziția adverbului; ■ Conjuncția: conjuncțiile coordonatoare; conjuncția subordonatoare; locuțiuni conjuncționale; ■ Prepoziția: folosirea prepozițiilor; prepoziții articulate; locuțiuni prepoziționale; ■

Interjecția: interjecții proprii (care exprimă uimirea, bucuria, amenințarea, îndemnul, regretul, indignarea): ah, eh, ih, oh, ahi, beh, uffa, ahime; interjecții improprii bravo, coraggio, avanti, via, su, forza, guai, peccato; locuțiuni; ■ Sintaxa: Propoziția simplă; Părți principale de propoziție (Subiectul; Predicatul); Părți secundare de propoziție (Atributul; Complementul direct și indirect; Complemente circumstanțiale: de loc, de timp, de mod, de cauză, de scop, concesie, opoziție); ■ Sintaxa frazei: Propoziția simplă; Propoziția condițională și fraza ipotetică; Concordanța în indicativ și conjunctiv. - elemente etice și culturale în texte literare și nonliterare și exprimarea propriei atitudini față de acestea.

2. Utilizarea corectă și adecvată a limbii italiene în producerea de mesaje scrise, în diferite situații de comunicare

Competențe specifice

Conținuturi asociate 2.1 redactarea diverselor texte, cu scopuri și destinații diverse, adaptându-le la situația de comunicare concretă - redactarea în scris de texte funcționale pe subiecte din viața cotidiană, mesaje, scrisori personale; - redactarea de mesaje pe o anumită temă, urmărind un plan dat: pagină de jurnal personal, povestire, descriere; - realizarea de texte, ținând seama de părțile componente ale unei compuneri, respectând categoriile semantice și regulile gramaticale studiante, folosind corect semnele ortografice și de punctuație; - redarea în scris a unor informații receptate prin lectură; 2.2 utilizarea în redactarea unui text propriu a cunoștințelor de lexic și de morfosintaxă, folosind adecvat semnele ortografice și de punctuație

- cartea – obiect cultural: teoria literară, destinatarul mesajului, structura textului narativ; - descrierea obiectivă și subiectivă, dialogul, personajul (caracterizarea sumară – portret fizic și portret moral); - structura prozodică (rimă, ritm, vers, strofă, vers liber); - figurile de stil: personificarea, comparația, enumerarea, repetiția, epitetul, antiteza, metafora; - sensul de bază, sensul auxiliar; sensul figurat; - genuri și specii (genurile epic, liric și dramatic); - textul: texte literare aparținând diverselor genuri și specii și textul nonliterar; - redactare de mesaje; - completare de texte lacunare; - redactare de scrisori în registru familiar; - construirea unor scurte povestiri; - folosirea sinonimelor în scopul evitării repetițiilor; - diferențierea semnificației sinonimelor în contexte diferite; - folosirea corectă a părților de vorbire flexibile și neflexibile; - folosirea corectă a formelor verbale în raport cu cronologia faptelor relatate; - folosirea conectorilor adecvați; - folosirea unor construcții verbale specifice pentru a spori expresivitatea comunicării; - rezumare, substituire, transformare, alegere multiplă; - identificarea structurii textului narativ; - sesizarea schimbării semnificației unor cuvinte în funcție de context; - stabilirea relațiilor de sinonimie, antonimie și polisemie într-un text dat; - identificarea secvențelor într-un text narativ; - structurarea unui text în secvențe distincte în funcție de tipul acestuia (rezumat, caracterizare de personaj, scrisoare etc.). - elemente de lexic studiate în clasele a IX-a – a XII-a; mijloace de îmbogățire a lexicului; - folosirea corectă a semnelor de punctuație la nivelul propoziției și al frazei; - aplicarea adecvată a cunoștințelor de morfologie în exprimarea scrisă corectă: articolul, substantivul, adjectivul, numeralul, pronumele, verbul, adverbul, conjuncția, prepoziția, interjecția, sintaxa propoziției și a frazei.

Notă: Se recomandă următoarele texte:

Testo poetico “Tanto gentile e tanto onesta pare”

Canto V dell’Inferno, La Divina Commedia “Solo e pensoso”

“Erano i capei d’oro a l’aura sparso” “Trionfo di Bacco e Arianna”

“I mi trovai, fanciulle, un bel mattino” da Le Rime “L’apparizione di Angelica”, Canto I di Orlando innamorato

“Orlando in cerca di Angelica”, di Orlando Furioso

“Ermina fra i pastori”, Canto VII di Gerusalemme liberata

“Alla sera”

“Il sabato del villaggio” “La pioggia nel pineto” “La mia sera”

“L’amica di nonna Speranza” “San Martino del Carso”

“A mia moglie”

“Meriggiare pallido e assorto” “Felicità raggiunta”

“Non chiederci la parola” “Ed è subito sera”

“Alle fronde dei salici”

“Verrà la morte e avrà i tuoi occhi”

Testo narrativo (racconto) “Federigo degli Alberighi” (V giornata, IX

novella, Il Decameron)

“I promessi sposi” (frammenti) “La lupa”

“Il treno ha fischiato” “Agostino” (frammenti) “Il colombre” da Racconti

Dante Alighieri Dante Alighieri Francesco Petrarca Francesco Petrarca Lorenzo de’ Medici Angelo Poliziano Matteo Maria Boiardo

Ludovico Ariosto Torquarto Tasso

Ugo Foscolo Giacomo Leopardi Giovanni Pascoli Gabriele D’Annunzio Guido Gozzano Giuseppe Ungaretti Umberto Saba Eugenio Montale Eugenio Montale Eugenio Montale Salvatore Quasimodo Salvatore Quasimodo Cesare Pavese Giovanni Boccaccio

Alessandro Manzoni Giovanni Verga Luigi Pirandello Alberto Moravia Dino Buzzati

Testo drammatico “La Locandiera”(frammento)

Carlo Goldoni Trattato “Creazione dell’uomo” (De dignitae hominis)

Pico della Mirandola

Teme recomandate:

 Universul personal: gusturi și preferințe, activități școlare și în afara școlii, familia, prietenia, sentimente și emoții, sănătatea, jocul, timpul liber, vacanța;

 Problemele adolescenților: integrarea în grup și acceptarea diferențelor; responsabilitate și implicare socială;



Mediul înconjurător: viața la țară și oraș, natura (plante, animale, locuri și peisaje), ecologie;



Progres și schimbare: ocupații și profesiuni de viitor, invenții și descoperiri;

 Societatea informațională și mijloace de comunicare moderne: publicitate și anunțuri în presă, radioul și televiziunea, internetul;



Relații interpersonale: relații între tineri, corespondență și schimburi intre scoli, călătorii,

 Oameni și locuri: aspecte ale vieții citadine, obiective turistice și culturale, personalități importante;



Obiceiuri și tradiții: mâncăruri specifice sărbătorilor tradiționale, activități specifice sărbătorilor tradiționale (reluare și îmbogățire);



Incursiuni în lumea artei: personaje îndrăgite din cărți, filme, muzica italiană;



Elemente culturale ale spațiului italian: Referințe istorice. Începuturile literaturii italiene, Evul Mediu, Începuturile Renașterii – principalele etape și răspândirea modelului renascentist (secolul al XII – lea, al XIII – lea, al XIV – lea, al XV – lea);

 Elemente culturale ale spațiului italian: Referințe istorice. Renașterea. Umanismul. Reforma și Controreforma. Clasicismul. Barocul. Commedia dell’arte. Începuturile Iluminismului. (secolul al XV – lea, al XVI – lea, începuturile secolului al XVII – lea);



Elemente culturale ale spațiului italian: Romantismul. Verismul. Decadentismul;



Repere moderne ale spațiului italian: Crepuscularismul. Futurismul. Ermetismul. Neorealismul.

Modernismul. Postmodernismul.

CENTRUL NAȚIONAL DE EVALUARE ȘI EXAMINARE

PROGRAMA DE EXAMEN

PENTRU DISCIPLINA MATEMATICĂ

BACALAUREAT 2015

PROGRAMA DE EXAMEN PENTRU DISCIPLINA MATEMATICĂ

Examenul național de bacalaureat reprezintă modalitatea de evaluare externă sumativă a competențelor dobândite pe parcursul învățământului liceal.

Programa de examen este realizată în conformitate cu prevederile programelor școlare în vigoare. Subiectele pentru examenul național de bacalaureat evaluează competențele formate/dezvoltate pe parcursul învățământului liceal și se elaborează în baza prezentei programe.

Se recomandă, din punct de vedere didactic, abordarea conținuturilor din perspectiva formării/dezvoltării competențelor specifice care le sunt asociate de programă. Acest lucru presupune centrarea demersului didactic asupra acțiunilor care trebuie realizate pentru a forma/dezvolta la elevi competențele prevăzute de programa școlară și pentru ca aceștia să demonstreze, în cadrul evaluărilor, însușirea acestora.

În cadrul examenului național de bacalaureat Matematica are statut de disciplină obligatorie în funcție de filieră, profil și specializare. Astfel, programele de examen se diferențiază, în funcție de filiera, profilul și specializarea absolvite, în:

 programa

M_mate-info

pentru filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică și pentru filiera vocațională, profilul militar, specializarea matematică-informatică;  programa

M_șt-nat

pentru filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii;  programa

M_tehnologic

pentru filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse naturale și protecția mediului, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale;  programa

M_pedagogic

pentru filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător- educatoare.

PROGRAMA M_mate-info

Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocațională, profilul militar, specializarea matematică-informatică

COMPETENȚE DE EVALUAT ȘI CONȚINUTURI

}

CLASA a IX-a - 4 ore/săpt. (TC

CD)

Competențe specifice

Conținuturi

1. Identificarea, în limbaj cotidian sau în probleme de matematică, a unor noțiuni specifice logicii matematice și teoriei mulțimilor

2. Utilizarea proprietăților operațiilor algebrice ale numerelor, a estimărilor și aproximărilor în contexte variate

3. Alegerea formei de reprezentare a unui număr real și utilizarea unor algoritmi pentru optimizarea calculelor cu numere reale

4. Deducerea unor rezultate și verificarea acestora utilizând inducția matematică sau alte raționamente logice

5. Redactarea rezolvării unei probleme, corelând limbajul uzual cu cel al logicii matematice și al teoriei mulțimilor

6. Transpunerea unei situații-problemă în limbaj matematic, rezolvarea problemei obținute și

interpretarea rezultatului

Mulțimi și elemente de logică matematică  Mulțimea numerelor reale: operații algebrice cu numere reale, ordonarea numerelor reale, modulul unui număr real, aproximări prin lipsă sau prin adaos, partea întreagă, partea fracționară a unui număr real; operații cu intervale de numere reale  Propoziție, predicat, cuantificatori  Operații logice elementare (negație, conjuncție, disjuncție, implicație, echivalență), corelate cu operațiile și cu relațiile dintre mulțimi (complementară, intersecție, reuniune, incluziune, egalitate); raționament prin reducere la absurd  Inducția matematică

1. Recunoașterea unor corespondențe care sunt funcții, șiruri, progresii

2. Utilizarea unor modalități variate de descriere a funcțiilor în scopul caracterizării acestora

3. Descrierea unor șiruri/funcții utilizând reprezentarea geometrică a unor cazuri particulare și raționamentul inductiv

4. Caracterizarea unor șiruri folosind diverse reprezentări (formule, grafice) sau proprietăți algebrice ale acestora

5. Analizarea unor valori particulare în vederea determinării formei analitice a unei funcții definite pe

prin raționament de tip inductiv

6. Transpunerea unor situații-problemă în limbaj matematic utilizând funcții definite pe

Șiruri  Modalități de a defini un șir, șiruri mărginite, șiruri monotone  Șiruri particulare: progresii aritmetice, progresii geometrice, formula termenului general în funcție de un termen dat și rație, suma primilor n termeni ai unei progresii  Condiția ca n numere să fie în progresie aritmetică sau geometrică, pentru n � 3

1. Identificarea valorilor unei funcții folosind reprezentarea grafică a acesteia

2. Caracterizarea egalității a două funcții prin utilizarea unor modalități variate de descriere a funcțiilor

3. Operarea cu funcții reprezentate în diferite moduri și caracterizarea calitativă a acestor reprezentări

4. Caracterizarea unor proprietăți ale funcțiilor numerice prin utilizarea graficelor acestora și a ecuațiilor asociate

5. Deducerea unor proprietăți ale funcțiilor numerice prin lectură grafică

6. Analizarea unor situații practice și descrierea lor cu ajutorul funcțiilor

Funcții; lecturi grafice  Reper cartezian, produs cartezian; reprezentarea prin puncte a unui produs cartezian de mulțimi numerice; condiții algebrice pentru puncte aflate în cadrane; drepte în plan de forma x 

m sau y 

m, cu m   Funcția: definiție, exemple, exemple de corespondențe care nu sunt funcții, modalități de a descrie o funcție, lecturi grafice. Egalitatea a două funcții, imaginea unei mulțimi printr-o funcție, graficul unei funcții, restricții ale unei funcții  Funcții numerice  F  

f: D ➔

reprezentarea geometrică a graficului: intersecția

cu axele de coordonate, rezolvări grafice ale unor ecuații

și

inecuații

forma

f 

x  

g 

x ,  �, , ,  ;

proprietăți

ale

funcțiilor numerice introduse prin lectură grafică: mărginire, monotonie; alte proprietăți: paritate/imparitate, simetria graficului față de drepte de forma x 

m, m , periodicitate  Compunerea funcțiilor; exemple pe funcții numerice

1. Recunoașterea funcției de gradul I descrisă în moduri diferite

2. Utilizarea unor metode algebrice și grafice pentru rezolvarea ecuațiilor, inecuațiilor și sistemelor

3. Descrierea unor proprietăți desprinse din reprezentarea grafică a funcției de gradul I sau din rezolvarea ecuațiilor, inecuațiilor și sistemelor de ecuații

4. Exprimarea legăturii între funcția de gradul I și reprezentarea ei geometrică

5. Interpretarea graficului funcției de gradul I utilizând proprietățile algebrice ale funcției

6. Modelarea unor situații concrete prin utilizarea ecuațiilor și/sau a inecuațiilor, rezolvarea problemei obținute și interpretarea rezultatului

Funcția de gradul I  Definiție; reprezentarea grafică a func ției

f:,

f 

x  

ax 

b, unde

a, b ,

intersecția graficului cu axele de coordonate,

ecuația f 

x  

O 

Interpretarea grafică a proprietăților algebrice ale funcției: monotonia și semnul funcției; studiul

monotoniei prin semnul diferenței f 

x 1  

f 

x 2  (sau prin studierea semnului raportului

f 

x 1  

f 

x 2 ,

x ,

x 

x )

x 1 

x 2 1 2 1 2  Inecuații de forma ax 

b � O ( , ,  ) studiate pe sau pe intervale de numere reale  Poziția relativă a două drepte, sisteme de ecuații de tipul 

ax 

by 

a, b, c, m, n, p numere reale � mx 

ny 

p   Sisteme de inecuații de gradul I

1. Diferențierea, prin exemple, a variației liniare de cea pătratică

2. Completarea unor tabele de valori pentru trasarea graficului funcției de gradul al II-lea

3. Aplicarea unor algoritmi pentru trasarea graficului funcției de gradul al II-lea (prin puncte semnificative)

4. Exprimarea proprietăților unei funcții prin condiții algebrice sau geometrice

5. Utilizarea relațiilor lui Viete pentru caracterizarea soluțiilor ecuației de gradul al II- lea și pentru rezolvarea unor sisteme de ecuații

6. Utilizarea funcțiilor în rezolvarea unor probleme și în modelarea unor procese

Funcția de gradul al II-lea 

Reprezentarea grafică a funcției

f:,

f 

x  

ax 2 

bx 

c, cu a, b, c 

și a  O intersecția graficului cu axele de coordonate,

ecuația f 

x  

O, simetria față de drepte de forma

x 

cu m   Relațiile lui Viete, rezolvarea sistemelor de forma  x 

y 

S, cu

p  �

xy 

p 

1. Recunoașterea corespondenței dintre seturi de date și reprezentări grafice

2. Determinarea unor funcții care verifică anumite condiții precizate

3. Utilizarea unor algoritmi pentru rezolvarea ecuațiilor, inecuațiilor și a sistemelor de ecuații și pentru reprezentarea grafică a soluțiilor acestora

4. Exprimarea prin reprezentări grafice a unor condiții algebrice; exprimarea prin condiții algebrice a unor reprezentări grafice

5. Utilizarea unor metode algebrice sau grafice

pentru determinarea sau aproximarea soluțiilor ecuației asociate funcției de gradul al II-lea

Interpretarea geometrică a proprietăților algebrice ale funcției de gradul al II-lea 

Monotonie; studiul monotoniei prin semnul

diferenței f 

x 1  

f 

x 2 

sau prin rata creșterii /descreșterii:

f 

x 1  

f 

x 2 ,

x, x , x 

x 1 

x 2 1 2 1 2

punct de extrem, vârful parabolei  Poziționarea parabolei față de axa Ox, semnul

funcției, inecuații de forma ax 2 

bx 

c � O ( , ,  ), a, b, c 

O, studiate pe sau pe intervale de numere reale, interpretare geometrică:

➔

, a

6. Interpretarea informațiilor conținute în reprezentări grafice prin utilizarea de estimări, aproximări și strategii de optimizare

imagini ale unor intervale (proiecțiile unor porțiuni de parabolă pe axa Oy )  Poziția relativă a unei drepte față de o parabolă:

rezolvarea sistemelor de forma  

mx 

n 

y,  � ax 2 

bx 

c 

y 

a, b, c, m, n 

1. Identificarea unor elemente de geometrie vectorială în diferite contexte

2. Transpunerea unor operații cu vectori în contexte geometrice date

3. Utilizarea operațiilor cu vectori pentru a descrie o problemă practică

4. Utilizarea limbajului calculului vectorial pentru a descrie configurații geometrice

5. Identificarea condițiilor necesare pentru ca o configurație geometrică să verifice cerințe date

6. Aplicarea calculului vectorial în rezolvarea unor probleme de fizică

Vectori în plan  Segment orientat, vectori, vectori coliniari  Operații cu vectori: adunarea (regula triunghiului, regula paralelogramului), proprietăți ale operației de adunare; înmulțirea cu un scalar, proprietăți ale înmulțirii cu un scalar; condiția de coliniaritate, descompunerea după doi vectori necoliniari

1. Descrierea sintetică sau vectorială a proprietăților unor configurații geometrice în plan

2. Caracterizarea sintetică sau/și vectorială a unei configurații geometrice date

3. Alegerea metodei adecvate de rezolvare a problemelor de coliniaritate, concurență sau paralelism

4. Trecerea de la caracterizarea sintetică la cea vectorială (și invers) într-o configurație geometrică dată

5. Interpretarea coliniarității, concurenței sau paralelismului în relație cu proprietățile sintetice sau vectoriale ale unor configurații geometrice

6. Analizarea comparativă a rezolvărilor vectorială și sintetică ale aceleiași probleme

Coliniaritate, concurență, paralelism - calcul vectorial în geometria plană  Vectorul de poziție a unui punct  Vectorul de poziție a punctului care împarte un segment într-un raport dat, teorema lui Thales (condiții de paralelism)  Vectorul de poziție a centrului de greutate al unui triunghi (concurența medianelor unui triunghi)  Teorema lui Menelau, teorema lui Ceva

1. Identificarea legăturilor între coordonate unghiulare, coordonate metrice și coordonate carteziene pe cercul trigonometric

2. Calcularea unor măsuri de unghiuri și arce utilizând relații trigonometrice

3. Determinarea măsurii unor unghiuri și a lungimii unor segmente utilizând relații metrice

4. Caracterizarea unor configurații geometrice plane utilizând calculul trigonometric

5. Determinarea unor proprietăți ale funcțiilor trigonometrice prin lecturi grafice

6. Optimizarea calculului trigonometric prin alegerea adecvată a formulelor

Elemente de trigonometrie 

Cercul trigonometric, definirea funcțiilor trigonometrice: sin:  O, 2   ➔   1,1 ,

cos:  O, 2   ➔   1,1 , tg:  O,   \    ➔, � 2 �  

ctg:  O,   ➔  Definirea funcțiilor trigonometrice: sin: 1,1 , tg:, cu D    

k 

k , ctg:, cu � 2 �   D   k 

k   Reducerea la primul cadran; formule trigonometrice: sin  a 

b ,

sin  a 

b ,

cos  a 

b ,

cos  a 

b , sin 2 a, cos 2 a, sin a  sin b, sin a  sin b, cos a  cos b,

cos a  cos b (transformarea sumei în produs)

➔

( - 1,1 ], cos: ➔ ( - \

➔

}

1. Identificarea unor metode posibile în rezolvarea problemelor de geometrie

2. Aplicarea unor metode diverse pentru determinarea unor distanțe, a unor măsuri de unghiuri și a unor arii

3. Prelucrarea informațiilor oferite de o configurație geometrică pentru deducerea unor proprietăți ale acesteia

4. Analizarea unor configurații geometrice pentru alegerea algoritmilor de rezolvare

5. Aplicarea unor metode variate pentru optimizarea calculelor de distanțe, de măsuri de unghiuri și de arii

6. Modelarea unor configurații geometrice utilizând metode vectoriale sau sintetice

Aplicații ale trigonometriei și ale produsului scalar a doi vectori în geometria plană  Produsul scalar a doi vectori: definiție, proprietăți. Aplicații: teorema cosinusului, condiții de perpendicularitate, rezolvarea triunghiului dreptunghic  Aplicații vectoriale și trigonometrice în geometrie: teorema sinusurilor, rezolvarea triunghiurilor oarecare  Calcularea razei cercului înscris și a razei cercului circumscris în triunghi, calcularea lungimilor unor segmente importante din triunghi, calcularea unor arii

➔

( O,

CLASA a X-a - 4 ore/săpt. (TC

CD)

Competențe specifice

Conținuturi

1. Identificarea caracteristicilor tipurilor de numere utilizate în algebră și a formei de scriere a unui număr real în contexte specifice

2. Determinarea echivalenței între forme diferite de scriere a unui număr, compararea și ordonarea numerelor reale

3. Aplicarea unor algoritmi specifici calculului cu numere reale sau complexe pentru optimizarea unor calcule și rezolvarea de ecuații

4. Alegerea formei de reprezentare a unui număr real sau complex în funcție de contexte în vederea optimizării calculelor

5. Alegerea strategiilor de rezolvare în vederea optimizării calculelor

6. Determinarea unor analogii între proprietățile operațiilor cu numere reale sau complexe scrise în forme variate și utilizarea acestora în rezolvarea unor ecuații

Mulțimi de numere  Numere reale: proprietăți ale puterilor cu exponent rațional, irațional și real ale unui număr pozitiv nenul, aproximări raționale pentru numere reale  Radical de ordin n ( n  și n  2 ) dintr-un număr, proprietăți ale radicalilor  Noțiunea de logaritm, proprietăți ale

logaritmilor, calcule cu logaritmi, operația de logaritmare  Mulțimea. Numere complexe sub formă algebrică, conjugatul unui număr complex, operații cu numere complexe. Interpretarea geometrică a operațiilor de adunare și de scădere a numerelor complexe și a înmulțirii acestora cu un număr real  Rezolvarea în a ecuației de gradul al doilea având coeficienți reali. Ecuații bipătrate

1. Trasarea prin puncte a graficelor unor funcții

2. Prelucrarea informațiilor ilustrate prin graficul unei funcții în scopul deducerii unor proprietăți algebrice ale acesteia (monotonie, semn, bijectivitate, inversabilitate, convexitate)

3. Utilizarea de proprietăți ale funcțiilor în trasarea graficelor și în rezolvarea de ecuații

4. Exprimarea în limbaj matematic a unor situații concrete și reprezentarea prin grafice a unor funcții care descriu situații practice

5. Interpretarea, pe baza lecturii grafice, a proprietăților algebrice ale funcțiilor

6. Utilizarea echivalenței dintre bijectivitate și inversabilitate în trasarea unor grafice și în rezolvarea unor ecuații algebrice și trigonometrice

Funcții și ecuații  Funcția putere cu exponent natural: f:

f 

x  

x n, n , n  2

și

funcția radical:

D ➔,

f 

x  

n x, n 

și n  2, unde D   O,  

pentru n par și

D 

pentru

impar  Funcția exponențială: f:  ,

f 

x  

a x, a   O,  , a  1 și funcția logaritmică: f:  O,   ➔, f 

x   log a

x, a   O,  , a  1  Injectivitate, surjectivitate, bijectivitate; funcții inversabile: definiție, proprietăți grafice, condiția necesară și suficientă ca o funcție să fie inversabilă  Funcții trigonometrice directe și inverse  Rezolvări de ecuații folosind proprietățile

funcțiilor:

1. Ecuații care conțin radicali de ordinul 2 sau de ordinul 3

2. Ecuații exponențiale, ecuații logaritmice

3. Ecuații trigonometrice:

sin x 

a, cos x 

a, a    1,1 ,

tg x 

a, ctg x 

a, a ,

sin f 

x  

sin g 

x , cos f 

x  

cos g 

x ,

tg f 

x  

tg g 

x , ctg f 

x  

ctg g 

x 

Notă:

Pentru toate tipurile de funcții Se vor Studia: interSecția cu axele de coordonate, ecuația

f 

x  

reprezentarea grafică prin puncte, Simetrie, lectura grafică a proprietăților algebrice ale funcțiilor: monotonie, bijectivitate, inverSabilitate, Semn, convexitate.

1. Diferențierea problemelor în funcție de numărul de soluții admise

2. Identificarea tipului de formulă de numărare adecvată unei situații-problemă date

3. Utilizarea unor formule combinatoriale în raționamente de tip inductiv

4. Exprimarea, în moduri variate, a caracteristicilor unor probleme în scopul simplificării modului de numărare

5. Interpretarea unor situații-problemă având conținut practic cu ajutorul funcțiilor și a elementelor de combinatorică

6. Alegerea strategiilor de rezolvare a unor situații practice în scopul optimizării rezultatelor

Metode de numărare  Mulțimi finite ordonate. Numărul funcțiilor f: A ➔

B, unde A și B sunt mulțimi finite  Permutări - numărul de mulțimi ordonate care se obțin prin ordonarea unei mulțimi finite cu n elemente - numărul funcțiilor bijective f: A ➔

B, unde A și B sunt mulțimi finite  Aranjamente - numărul submulțimilor ordonate cu câte k elemente fiecare, k 

n, care se pot forma cu cele n elemente ale unei mulțimi finite - numărul funcțiilor injective f: A ➔

B, unde A și B sunt mulțimi finite  Combinări - numărul submulțimilor cu câte k elemente, unde O 

k 

n, ale unei mulțimi finite cu n elemente. Proprietăți: formula combinărilor complementare, numărul tuturor submulțimilor unei mulțimi cu n elemente  Binomul lui Newton

1. Recunoașterea unor date de tip probabilistic sau statistic în situații concrete

2. Interpretarea primară a datelor statistice sau probabilistice cu ajutorul calculului financiar, al graficelor și al diagramelor

3. Utilizarea unor algoritmi specifici calculului financiar, statisticii sau probabilităților pentru analiza de caz

4. Transpunerea în limbaj matematic prin mijloace statistice sau probabilistice a unor probleme practice

5. Analizarea și interpretarea unor situații practice cu ajutorul conceptelor statistice sau probabilistice

6. Corelarea datelor statistice sau probabilistice în scopul predicției comportării unui sistem prin analogie cu modul de comportare în situații studiate

Matematici financiare  Elemente de calcul financiar: procente, dobânzi, TVA  Culegerea, clasificarea și prelucrarea datelor statistice: date statistice, reprezentarea grafică a datelor statistice  Interpretarea datelor statistice prin parametri de poziție: medii, dispersia, abateri de la medie  Evenimente aleatoare egal probabile, operații cu evenimente, probabilitatea unui eveniment compus din evenimente egal probabile

Notă: Aplicațiile vor fi din domeniul financiar: profit, preț de coSt al unui produS, amortizări de inveStiții, tipuri de credite, metode de finanțare, buget perSonal, buget familial.

1. Descrierea unor configurații geometrice analitic sau utilizând vectori

2. Descrierea analitică, sintetică sau vectorială a relațiilor de paralelism și de perpendicularitate

3. Utilizarea informațiilor oferite de o configurație geometrică pentru deducerea unor proprietăți ale acesteia și calcularea unor distanțe și a unor arii

4. Exprimarea analitică, sintetică sau vectorială a caracteristicilor matematice ale unei configurații geometrice

5. Interpretarea perpendicularității în relație cu paralelismul și minimul distanței

6. Modelarea

unor configurații geometrice

analitic, sintetic sau vectorial

Geometrie  Reper cartezian în plan, coordonatele unui vector în plan, coordonatele sumei vectoriale, coordonatele produsului dintre un vector și un număr real, coordonate carteziene ale unui punct din plan, distanța dintre două puncte în plan  Ecuații ale dreptei în plan determinate de un punct și de o direcție dată și ale dreptei determinate de două puncte distincte  Condiții de paralelism, condiții de perpendicularitate a două drepte din plan; calcularea unor distanțe și a unor arii

CLASA a XI-a - 4 ore/săpt.

Competențe specifice

Conținuturi

1. Identificarea unor situații practice concrete, care necesită asocierea unui tabel de date cu reprezentarea matriceală a unui proces specific domeniului economic sau tehnic

2. Asocierea unui tabel de date cu reprezentarea matriceală a unui proces

3. Aplicarea algoritmilor de calcul în situații practice

4. Rezolvarea unor ecuații și sisteme utilizând algoritmi specifici

5. Stabilirea unor condiții de existență și/sau compatibilitate a unor sisteme și identificarea unor metode adecvate de rezolvare a acestora

6. Optimizarea rezolvării unor probleme sau situații-problemă prin alegerea unor strategii și metode adecvate (de tip algebric, vectorial, analitic, sintetic)

ELEMENTE DE CALCUL MATRICEAL ȘI SISTEME DE ECUAȚII LINIARE Permutări  Noțiunea de permutare, operații, proprietăți  Inversiuni, semnul unei permutări Matrice  Tabel de tip matriceal. Matrice, mulțimi de matrice  Operații cu matrice: adunarea, înmulțirea, înmulțirea unei matrice cu un scalar, proprietăți Determinanți  Determinant de ordin n, proprietăți Sisteme de ecuații liniare  Matrice inversabile din, 4  Ecuații matriceale  Sisteme liniare cu cel mult 4 necunoscute, sisteme de tip Cramer, rangul unei matrice  Studiul compatibilității și rezolvarea sistemelor: proprietatea Kroneker-Capelli, proprietatea Rouche, metoda Gauss  Aplicații: ecuația unei drepte determinate de două puncte distincte, aria unui triunghi și coliniaritatea a trei puncte în plan

1. Caracterizarea unor șiruri și a unor funcții utilizând reprezentarea geometrică a unor cazuri particulare

2. Interpretarea unor proprietăți ale șirurilor și ale altor funcții cu ajutorul reprezentărilor grafice

3. Aplicarea unor algoritmi specifici calculului diferențial în rezolvarea unor probleme și modelarea unor procese

4. Exprimarea cu ajutorul noțiunilor de limită, continuitate, derivabilitate, monotonie, a unor proprietăți cantitative și/sau calitative ale unei funcții

5. Studierea unor funcții din punct de vedere

cantitativ și/sau calitativ utilizând diverse procedee: majorări sau minorări pe un interval

ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ Limite de funcții  Noțiuni elementare despre mulțimi de puncte pe dreapta reală: intervale, mărginire, vecinătăți, dreapta încheiată, simbolurile  și   Funcții reale de variabilă reală: funcția polinomială, funcția rațională, funcția putere, funcția radical, funcția logaritm, funcția exponențială, funcții trigonometrice directe și inverse  Limita unui șir utilizând vecinătăți, șiruri convergente  Monotonie, mărginire, limite; proprietatea lui

dat, proprietăți algebrice și de ordine ale mulțimii numerelor reale în studiul calitativ local, utilizare a reprezentării grafice a unei funcții pentru verificarea unor rezultate și/sau pentru identificarea unor proprietăți

6. Explorarea unor proprietăți cu caracter local și/sau global ale unor funcții utilizând reprezentarea grafică, continuitatea sau derivabilitatea

Note: - În introducerea noțiunilor de limită a unui șir într-un punct și de șir convergent nu Se vor introduce definițiile cu 

și nici teorema de convergență cu . - Se utilizează exprimarea „proprietatea lui

", „regula lui.", pentru a Sublinia faptul că Se face referire la un rezultat matematic utilizat în aplicații, dar a cărui demonStrație eSte în afara programei.

Weierstrass. Exemple semnificative:  a n ,

n  n a ,   1  1  n  (fără demonstrație), numărul

n  

n         n

e; limita șirului   1 

u  1 , u ➔ O, u  O, 

u n 

n   n

pentru orice număr natural n  Operații cu șiruri care au limită  Limite de funcții: interpretarea grafică a limitei unei funcții într-un punct utilizând vecinătăți, limite laterale  Calculul limitelor pentru funcțiile studiate; cazuri exceptate la calculul limitelor de funcții:

O, ,  , O , 1 ,  O, O O O   Asimptotele graficului funcțiilor studiate: asimptote verticale, oblice Continuitate  Continuitatea unei funcții într-un punct al domeniului de definiție, funcții continue, interpretarea grafică a continuității unei funcții, studiul continuității în puncte de pe dreapta reală pentru funcțiile studiate, operații cu funcții continue  Proprietatea lui Darboux, semnul unei funcții continue pe un interval de numere reale, studiul existenței soluțiilor unor ecuații în

Derivabilitate  Tangenta la o curbă, derivata unei funcții într-un punct, funcții derivabile, operații cu funcții derivabile, calculul derivatelor de ordin I și al II- lea pentru funcțiile studiate  Funcții derivabile pe un interval: puncte de extrem ale unei funcții, teorema lui Fermat, teorema lui Rolle, teorema lui Lagrange și interpretarea lor geometrică, corolarul teoremei lui Lagrange referitor la derivata unei funcții într-un punct  Rolul derivatei I în studiul funcțiilor: monotonia funcțiilor, puncte de extrem  Rolul derivatei a II-a în studiul funcțiilor: concavitate, convexitate, puncte de inflexiune  Regulile lui l Hospital Reprezentarea grafică a funcțiilor  Reprezentarea grafică a funcțiilor  Rezolvarea grafică a ecuațiilor, utilizarea reprezentării grafice a funcțiilor în determinarea numărului de soluții ale unei ecuații  Reprezentarea grafică a conicelor (cerc, elipsă, hiperbolă, parabolă)

CLASA a XII-a - 4 ore/săpt.

Competențe specifice

Conținuturi

1. Identificarea proprietăților operațiilor cu care este înzestrată o mulțime

2. Evidențierea asemănărilor și a deosebirilor dintre proprietățile unor operații definite pe mulțimi diferite și dintre calculul polinomial și cel cu numere 3.1. Determinarea și verificarea proprietăților structurilor algebrice, inclusiv verificarea faptului că o funcție dată este morfism sau izomorfism 3.2.

Folosirea descompunerii în factori a polinomelor, în probleme de divizibilitate și în rezolvări de ecuații

4. Utilizarea unor proprietăți ale operațiilor în calcule specifice unei structuri algebrice 5.1. Utilizarea unor proprietăți ale structurilor algebrice în rezolvarea unor probleme de aritmetică 5.2.

Determinarea unor polinoame, funcții polinomiale sau ecuații algebrice care verifică condiții date 6.1. Transferarea, între structuri izomorfe, a datelor inițiale și a rezultatelor, pe baza proprietăților operațiilor 6.2. Modelarea unor situații practice, utilizând noțiunea de polinom sau de ecuație algebrică

ELEMENTE DE ALGEBRĂ Grupuri  Lege de compoziție internă (operație algebrică), tabla operației, parte stabilă  Grup, exemple: grupuri numerice, grupuri de matrice, grupuri de permutări, grupul aditiv al claselor de resturi modulo n  Subgrup  Grup finit, tabla operației, ordinul unui element  Morfism, izomorfism de grupuri Inele și corpuri  Inel, exemple: inele numerice (,,, ),, inele de matrice, inele de funcții reale  Corp, exemple: corpuri numerice (,, ),, p prim  Morfisme de inele și de corpuri Inele de polinoame cu coeficienți într-un corp comutativ (,,,, p

prim )  Forma algebrică a unui polinom, funcția polinomială, operații (adunarea, înmulțirea, înmulțirea cu un scalar)  Teorema împărțirii cu rest; împărțirea polinoamelor, împărțirea cu X 

a, schema lui Horner  Divizibilitatea polinoamelor, teorema lui Bezout; c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c. al unor polinoame, descompunerea unor polinoame în factori ireductibili  Rădăcini ale polinoamelor, relațiile lui Viete  Rezolvarea ecuațiilor algebrice având coeficienți în,,,, ecuații binome, ecuații bipătrate,

ecuații reciproce

1. Identificarea legăturilor dintre o funcție continuă și derivata sau primitiva acesteia

2. Identificarea unor metode de calcul ale integralelor, prin realizarea de legături cu reguli de derivare

3. Utilizarea algoritmilor pentru calcularea unor integrale definite

4. Explicarea opțiunilor de calcul al integralelor definite, în scopul optimizării soluțiilor

5. Folosirea proprietăților unei funcții continue, pentru calcularea integralei acesteia pe un interval 6.1. Utilizarea proprietăților de monotonie a integralei în estimarea valorii unei integrale definite și în probleme cu conținut practic 6.2. Modelarea comportării unei funcții prin utilizarea primitivelor sale

diviziuni, sistem de puncte intermediare, sume Riemann, interpretare geometrică. Definiția integrabilității unei funcții pe un interval  a, b   Proprietăți ale integralei definite: liniaritate, monotonie, aditivitate în raport cu intervalul de integrare.  Formula Leibniz - Newton  Integrabilitatea funcțiilor continue, teorema de

medie, interpretare geometrică, teorema de existență a primitivelor unei funcții continue

 Metode de calcul al integralelor definite: integrarea prin părți, integrarea prin schimbare de variabilă. Calculul integralelor de forma

P ( x )

dx,

grad Q  4

prin

metoda 

Q ( x )

a descompunerii în fracții simple Aplicații ale integralei definite  Aria unei suprafețe plane  Volumul unui corp de rotație  Calculul unor limite de șiruri folosind integrala definită

Notă: Se utilizează exprimarea „proprietate" Sau „regulă", pentru a Sublinia faptul că Se face referire la un rezultat matematic utilizat în aplicații, dar a cărui demonStrație eSte în afara programei.

PROGRAMA M_șt-nat

Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii

COMPETENȚE DE EVALUAT ȘI CONȚINUTURI

}

CLASA a IX-a - 4 ore/săpt. (TC

CD)

Competențe specifice

Conținuturi

1. Identificarea, în limbaj cotidian sau în

probleme de matematică, a unor noțiuni specifice logicii matematice și teoriei mulțimilor

2. Utilizarea proprietăților operațiilor algebrice ale numerelor, a estimărilor și aproximărilor în contexte variate

3. Alegerea formei de reprezentare a unui număr real și utilizarea unor algoritmi pentru optimizarea calculelor cu numere reale

4. Deducerea unor rezultate și verificarea acestora utilizând inducția matematică sau alte raționamente logice

5. Redactarea rezolvării unei probleme, corelând limbajul uzual cu cel al logicii matematice și al teoriei mulțimilor

6. Transpunerea unei situații-problemă în limbaj matematic, rezolvarea problemei obținute și interpretarea rezultatului

1. Recunoașterea unor corespondențe care sunt

funcții, șiruri, progresii

2. Utilizarea unor modalități variate de descriere a funcțiilor în scopul caracterizării acestora

3. Descrierea unor șiruri/funcții utilizând reprezentarea geometrică a unor cazuri particulare și raționamentul inductiv

4. Caracterizarea unor șiruri folosind diverse reprezentări (formule, grafice) sau proprietăți algebrice ale acestora

5. Analizarea unor valori particulare în vederea determinării formei analitice a unei funcții definite pe prin raționament de tip inductiv

6. Transpunerea unor situații-problemă în limbaj matematic utilizând funcții definite pe

1. Identificarea valorilor unei funcții folosind

reprezentarea grafică a acesteia

2. Caracterizarea egalității a două funcții prin utilizarea unor modalități variate de descriere a funcțiilor

3. Operarea cu funcții reprezentate în diferite moduri și caracterizarea calitativă a acestor reprezentări

4. Caracterizarea unor proprietăți ale funcțiilor numerice prin utilizarea graficelor acestora și a ecuațiilor asociate

5. Deducerea unor proprietăți ale funcțiilor numerice prin lectură grafică

6. Analizarea unor situații practice și descrierea lor cu ajutorul funcțiilor

m sau y 

m, cu m   Funcția: definiție, exemple, exemple de

corespondențe care nu sunt funcții, modalități de a descrie o funcție, lecturi grafice. Egalitatea a două funcții, imaginea unei mulțimi printr-o funcție, graficul unei funcții, restricții ale unei funcții 

Funcții numerice  F  

f: D ➔

D; reprezentarea geometrică a graficului: intersecția cu axele de coordonate, rezolvări grafice ale unor

ecuații și inecuații de forma

f 

x  

g 

x , ( , , ,  ); proprietăți ale funcțiilor numerice introduse prin lectură grafică: mărginire, monotonie; alte proprietăți: paritate/imparitate, simetria graficului față de drepte de forma x 

m , periodicitate  Compunerea funcțiilor; exemple pe funcții numerice

1. Recunoașterea funcției de gradul I descrisă în moduri diferite

2. Utilizarea unor metode algebrice și grafice pentru rezolvarea ecuațiilor, inecuațiilor și sistemelor de ecuații

3. Descrierea unor proprietăți desprinse din reprezentarea grafică a funcției de gradul I sau din rezolvarea ecuațiilor, inecuațiilor și sistemelor de ecuații

4. Exprimarea legăturii între funcția de gradul I și reprezentarea ei geometrică

5. Interpretarea graficului funcției de gradul I utilizând proprietățile algebrice ale funcției

6. Modelarea unor situații concrete prin utilizarea ecuațiilor și/sau a inecuațiilor, rezolvarea problemei obținute și interpretarea rezultatului

Funcția de gradul I  Definiție; reprezentarea grafică a func ției

f:,

f 

x  

ax 

b, unde

a, b ,

intersecția graficului cu axele de coordonate,

ecuația f 

x  

O 

Interpretarea grafică a proprietăților algebrice ale funcției: monotonia și semnul funcției; studiul

monotoniei prin semnul diferenței f 

x 1  

f 

x 2  (sau prin studierea semnului raportului

f 

x 1  

f 

x 2 ,

x ,

x 

x )

x 1 

x 2 1 2 1 2  Inecuații de forma ax 

b  O ( , ,  ) studiate pe sau pe intervale de numere reale  Poziția relativă a două drepte, sisteme de ecuații de tipul 

ax 

by 

a, b, c, m, n, p  � mx 

ny 

p   Sisteme de inecuații de gradul I

1. Diferențierea, prin exemple, a variației liniare de cea pătratică

2. Completarea unor tabele de valori pentru trasarea graficului funcției de gradul al II-lea

3. Aplicarea unor algoritmi pentru trasarea graficului funcției de gradul al II-lea (prin puncte semnificative)

4. Exprimarea proprietăților unei funcții prin condiții algebrice sau geometrice

5. Utilizarea relațiilor lui Viete pentru caracterizarea soluțiilor ecuației de gradul al II- lea și pentru rezolvarea unor sisteme de ecuații

6. Utilizarea funcțiilor în rezolvarea unor probleme și în modelarea unor procese

Funcția de gradul al II-lea 

Reprezentarea grafică a funcției

f:,

f 

x  

ax 2 

bx 

c, cu a, b, c 

și a  O, intersecția graficului cu axele de coordonate,

ecuația f 

x  

O, simetria față de drepte de forma

x 

cu m   Relațiile lui Viete, rezolvarea sistemelor de forma  x 

y 

S, cu

p  �

xy 

p 

1. Recunoașterea corespondenței dintre seturi de date și reprezentări grafice

2. Determinarea unor funcții care verifică anumite condiții precizate

3. Utilizarea unor algoritmi pentru rezolvarea ecuațiilor, inecuațiilor și a sistemelor de ecuații și pentru reprezentarea grafică a soluțiilor acestora

4. Exprimarea prin reprezentări grafice a unor condiții algebrice; exprimarea prin condiții algebrice a unor reprezentări grafice

5. Utilizarea unor metode algebrice sau grafice pentru determinarea sau aproximarea soluțiilor ecuației asociate funcției de gradul al II-lea

Interpretarea geometrică a proprietăților algebrice ale funcției de gradul al II-lea 

Monotonie; studiul monotoniei prin semnul

diferenței f 

x 1  

f 

x 2 

sau prin rata creșterii /descreșterii:

f 

x 1  

f 

x 2 ,

x, x , x 

x 1 

x 2 1 2 1 2

punct de extrem, vârful parabolei  Poziționarea parabolei față de axa Ox, semnul

funcției, inecuații de forma

ax 2 

bx 

c  O, ( , ,  ), a, b, c 

O, studiate pe sau pe intervale de numere reale, interpretare geometrică: imagini ale unor intervale (proiecțiile unor porțiuni

➔

, a

6. Interpretarea informațiilor conținute în reprezentări grafice prin utilizarea de estimări, aproximări și strategii de optimizare

de parabolă pe axa Oy )  Poziția relativă a unei drepte față de o parabolă:

rezolvarea sistemelor de forma  